Sub materi 1

  1. Bentuk Pangkat

Bentuk-bentuk bilangan seperti 10-11, 1024 , 1022 dan 108 merupakan bentuk-bentuk bilangan berpangkat yang telah anda pelajari saat SMP/MTs. Bentuk-bentuk bilangan berpangkat dapat kita bagi menjadi empat jenis, yaitu: bilangan berpangkat positif, berpangkat nol, berpangkat negatif dan bilangan berpangkat pecahan. Bilangan berpangkat positif, nol dan negatif akan kita pelajari pada sub bab ini sedangkan yang berpangkat pecahan akan kita pelajari pada sub bab berikutnya.

1. Pangkat Bulat Positif

Konsep pangkat bilangan berawal dari perkalian, yang bertujuan untuk meringkas penulisan perkalian dari bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Sehingga

2 × 2 × 2 = 23

3 × 3 × 3 × 3 = 34

dan seterusnya.

Secara umum, bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai berikut:

an = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)

dimana a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

a. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

Jika  a dan b bilangan real serta n,p dan q bilangan bulat positif maka berlaku:

  1. ap × aq = ap+q
  2. ap : aq = ap-q
  3. (ap)q = apq
  4. (a × b)n = an × bn
  5. (a/b)n = ( an/ bn )

Bagaimana buktinya? Mari kita buktikan bersama-sama!

b. Pembuktian sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

1.  ap × aq = ap+q

Bukti:

ap × aq = (a × a × … × a) × (a × a × … × a)

= a × a × … × a   p+q faktor

= ap+q

2.  ap : aq = ap-q

Bukti:

ap : aq = (a × a × … × a) : (a × a × … × a)

= a × a × … × a    …… faktor

= ap-q

3.  (ap)q = apq

Bukti:

(ap)q = [(a × a × … × a)]q

= (a × a × … × a)× (a × a × … × a) ×….× (a × a × … × a)

= a × a × … × a     …… faktor

= apq

Berdasarkan contoh-contoh di atas, coba anda buktikan sifat-sifat yang lain.

  1. 2. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Berkembang dari pengertian pangkat sebagai suatu perkalian berulang, pangkat suatu bilangan bisa bulat positif, negative, nol bahkan bilangan pecahan.

  1. a. Pengertian bilangan berpangkat nol dan pangkat bulat negatif

Jika p dan q bilangan bulat positif, kita sudah memiliki rumus ap: aq = ap-q.

  • Jika p = q, maka ap = aq , maka ap: aq =1.

Dari sisi lain, jika p = q maka p-q = 0, sehingga  ap-q = a0 =1.

  • Jika pq maka (p-q ) merupakan bilangan bulat negatif. Hal ini berakibat ap:aq = ap-q merupakan bilangan  berpangkat bulat negatif.

Contoh

  1. a3 : a5 = a-2 dengan sifat ap : aq = ap-q

Jika pembagian tersebut ditulis dalam perkalian berulang maka diperoleh:

a3: a5 ==

Jadi, diperoleh hubungan :  a-2 =

  1. a2 : a7 =

Pada sisi lain, a5 : a10 = a-5

Jadi diperoleh hubungan :  a-5 =

  1. b. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat negatif

Pada dasarnya sifat-sifat bilangan berpangkat negatif sama dengan bilangan yang berpangkat bulat positif.

Tahukah anda:

Tahukah anda bahwa ahli matematika barat hidup tanpa bilangan minus selama berabad-abad. Bilangan ini baru dikenal di Eropa pada tahun 1500-an, meskipun bangsa Cina sudah menggunakannya jauh sebelum itu.

(sumber: Sains Populer, Bumi, Penemuan, Ruang dan Waktu)

Utlubul ‘ilmi walu bissiin (tuntutlah ilmu walau sampai ke negri Cina-Hadits)

Contoh:

Buktikan p-a × p-b = p-(a+b)

Jawab:

p-a × p-b =

=

= p-(a+b)

  1. 3. Menyederhanakan Bentuk Pangkat

Sering kali kita menemukan bentuk-bentuk pangkat yang masih komplek yang memuat faktor-faktor yang masih dapat disederhanakan. Dalam menyederhanakan bentuk pangkat, kita dapat menggunakan pengertian dan sifat-sifat bilangan berpangkat.

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat.

  1. 59 x 57
  2. e-5 : e7
  3. Rekreasi matematika:

    Bagaimana menghitung 45×45, 65×65, 75×75 dengan sangat cepat?

    65×65 = 4225

    bilangan 42 ini diperoleh dari 6×7, yaitu puluhan dikalikan bilangan sesudahnya, lalu ditambahkan 25.

    45×45 =2025  4×5=20

    Hal ini juga berlaku untuk 105×105, 115×115, dsb. Cobalah!

    Dengan cara ini anda akan kelihatan sangat pintar, karena dapat menghitung lebih cepat dari kalkulator.

    (g7)-4

  1. (d x h)-5y
  2. (g-6/h8)5t

Jawab:

  1. 59 x 57 = 59+7 = 516
  2. e-5 : e7 = e-5-7 = e-12
  3. (g7)-4 = g7.-4 = g…..
  4. (d x h)-5y = d-5y × h-5y
  5. (g-6/h8)5t = ………

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: